برای سؤالی که داده شده، بیایید مسئله را قدم به قدم حل کنیم:
مسئله از شما می‌خواهد که اثبات کنید:
\[
\sqrt[3]{a^3} = a
\]
برای یک عدد حقیقی \( a \).
1. **خواص جذر و ریشه‌ها:**
- جذر سوم \((\sqrt[3]{x})\) به این معناست که عددی پیدا کنیم که با خودش سه بار ضرب شود تا \( x \) برابر شود.
- لذا اگر داشته باشیم \(\sqrt[3]{a^3}\)، به دنبال عددی هستیم که با خودش سه بار ضرب شود تا \( a^3 \) برابر شود.
2. **استفاده از تعریف:**
- رابطه‌ی \( \sqrt[3]{a^3} = a \) به این معناست که \( a \) عددی است که با خودش سه بار ضرب می‌شود تا \( a^3 \) به دست آید.
3. **اثبات:**
با استفاده از خواص توان‌ها داریم:
\[
\sqrt[3]{a^3} = (a^3)^{\frac{1}{3}}
\]
و با استفاده از خواص توان‌ها:
\[
(a^3)^{\frac{1}{3}} = a^{3 \times \frac{1}{3}} = a^1 = a
\]
این نشان می‌دهد که \( \sqrt[3]{a^3} = a \) درست است.
بنابراین، اثبات کردیم که اگر \( a \) یک عدد حقیقی باشد، رابطه برقرار است.
